А. Н. Колмогоров. Лицо математики XX века

Лучше больше да лучше

"Колмогоров - Пуанкаре - Гаусс - Эйлер - Ньютон: всего пять таких жизней отделяют нас от истоков нашей науки". Эти великолепные слова принадлежат одному из учеников Андрея Николаевича Колмогорова - академику В. И. Арнольду. Они выражают общепризнанное мнение о том, что А. Н. Колмогоров относится к числу исключительных фигур в истории математики.

Что же это значит? Какими делами, какими свойствами личности определяется столь высокий авторитет в науке?

Начнем с того, что бросается в глаза сразу, хотя бы при знакомстве со списком трудов А. Н. Колмогорова. Подобно великим, имена которых стоят рядом с его именем в приведенной цитате, Андрей Николаевич был универсалом в математике. Там он умел все. А надо сказать, что математику ХХ века обладать этим качеством очень непросто. Уже в начале прошлого века, из-за обилия богатых "провинций", на которые разделилась огромная математическая империя, типичной для математиков стала специализация исследований в определенной области. Стало возможным создать себе крупнейшее научное имя, почти не выходя за ее пределы. Так выросли геометр Н. И. Лобачевский, алгебраист А. Кели, создатель теории множеств Г. Кантор и многие другие. В наше время эта тенденция усилилась. Сейчас даже стало хорошим тоном говорить, что представители различных ветвей математики зачастую просто не понимают друг друга. И тем не менее: "Необыкновенная широта творческих интересов А. Н. Колмогорова, огромный диапазон и разнообразие тех областей математики, в которых он работал в различные периоды своей жизни, выделяют Андрея Николаевича среди математиков не только нашей страны, но и всего мира, и можно прямо сказать, что в отношении этого свойства своего дарования он не имеет себе равных среди математиков своего времени" (академик П. С. Александров).

Попробуем просто перечислить те области математики, в которых работал А. Н. Колмогоров. Тригонометрические и ортогональные ряды, теория меры и интеграла, математическая логика, теория приближений, геометрия, топология, функциональный анализ, дифференциальные уравнения и динамические системы. Теория вероятностей, математическая статистика, теория информации, история математики. Если же говорить о прикладных исследованиях, то надо добавить к этому списку работы по механике, биологии, геологии, теории стрельбы, теории стихосложения, кристаллизации металлов, теории автоматов.

И это еще не все. А. Н. Колмогоров широко известен как выдающийся педагог, воспитавший блестящую плеяду советских математиков нескольких поколений. Среди них только академики составляют импозантную компанию более, чем из десяти человек. Много сил отдал Андрей Николаевич делу развития математического образования в школе, написанию учебников, воспитанию юных математических дарований.

Такой диапазон интересов, конечно, впечатляет. Но невольно возникает мысль: можно ли заниматься всем этим одинаково серьезно и глубоко, не противоречит ли такое разнообразие некоему закону сохранения, выраженному пословицей "лучше меньше, да лучше"? Но А. Н. Колмогоров словно специально избран судьбой, чтобы опровергнуть этот закон и работать по принципу "лучше больше да лучше". О качестве его работ можно сказать коротко: все его научные результаты первоклассны, большинство из них открывают новые направления и создают фундаментальные обобщающие теории. В приветствии А. Н. Колмогорову в связи с его 75-летием Отделение математики АН СССР, Московское математическое общество и журнал "Успехи математических наук" выразились еще короче и определеннее: "Ваши фундаментальные исследования определили лицо многих областей математики ХХ века".

Конечно, работать на таком высочайшем уровне под силу только человеку, в котором сочетаются математическое дарование огромной силы, недюжинное здоровье, фантастическое трудолюбие и целеустремленность.

В свое время, в брошюре для школьников "О профессии математика" А. Н. Колмогоров анализировал понятие математической одаренности. К элементам таковой он относил алгоритмические способности (нахождение удачных, нестандартных путей преобразования сложных выражений, решения уравнений), геометрическую интуицию, а также искусство "последовательного логического рассуждения", особенно умение логически мыслить в задачах с новой, нестандартной постановкой. Для развлечения читателя приведем по одной задаче А. Н. Колмогорова на каждый из трех отмеченных элементов.

1. Разложить на множители выражение x¹⁰ + x⁵ + 1.
2. Представить себе без чертежа, какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной одной из его диагоналей.
3. Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны друг другу?

Конечно, с возрастом, при постоянной математической тренировке ума, накапливаются знания, приходит математическая интуиция, шлифуется техника. Но суть дела остается прежней. Надо думать, что упомянутые признаки математического таланта сыграли определяющую роль и при доказательстве А. Н. Колмогоровым замечательного результата, полученного им в возрасте более 50 лет: произвольную непрерывную функцию, определенную на n-мерном кубе, можно представить в виде конечной суммы суперпозиций непрерывных функций от одной переменной. Сам Андрей Николаевич считал это доказательство технически самым трудным из всех полученных им математических результатов.

Вообще, его очень привлекло спортивное начало в математике: находить и решать задачи, которые поставлены давно, но еще никем не решены. Может быть, это определяется особенностью его характера, о которой рассказал А. М. Абрамов: "Однажды Андрей Николаевич заметил, что, по его мнению, каждый человек, начиная с определенного момента, продолжает оставаться в том возрасте, для которого наиболее характерно свойственное этому человеку мироощущение. На прямой вопрос: "А вам сколько лет, Андрей Николаевич?" он ответил: "Четырнадцать".

Математика и музыка

Но, конечно, математический талант А. Н. Колмогорова не измерить обычными мерками, не разложить на составляющие, даже пользуясь его собственной классификацией. Тут нужен некий "трансфинитный" подход, выход в новое измерение, ибо требуется оценить явление далеко не обычного масштаба. Нам трудно дать подобную оценку. Но знакомство с работами А. Н. Колмогорова, воспоминаниями его учеников, статьями и речами о нем, немногие личные впечатления об этом человеке позволяют нам отметить две особенности его творческой натуры.

Андрей Николаевич - один из людей, остро воспринимающих целостность мира, взаимодействие всех его материальных и духовных проявлений, которое и следует понять или, хотя бы почувствовать. В этом он, наверное сродни Альберту Эйнштейну. Не зря же оба они так любили музыку, лучше других искусств выражающую мечту о красоте как гармонии частей целого. Нюанс, может быть, состоит в следующем. Эйнштейн, помогая обуревающим его мыслям своей скрипкой, искал в теории относительности главную мелодию, к которой сводятся все тайны мироздания. Колмогорова же больше привлекала полифоничность мира, значительность каждого его проявления - научного, технического, спортивного - в общем ансамбле логики и эстетики бытия. Если вспомнить еще раз фразу Гильберта: "математика есть единая симфония бесконечного" то эйнштейновское начало в ней, пожалуй, выражено словом "единая", а колмогоровское - словом "симфония". Казалось бы, постоянные размышления над многообразными математическими проблемами должны были полностью занимать все время и всю мощность колмогоровского интеллекта. Но нет - его внутренний мир был огромным оркестром, возможностей и инструментов которого хватало и на многие вещи, далекие от науки.

Профессор В. М. Тихомиров свидетельствует:

"Однажды А. Н. сказал мне: "Вы не должны иметь обо мне представление как о человеке, который знает только математику; я принадлежу к тем людям, кто имеет собственное мнение более или менее по любому вопросу". Я знал всегда, что А. Н. - математик исключительной широты, но не мог и подозревать, в какой мере безграничным является его кругозор в философии, экономике, политике, географии, в вопросах, связанных с искусством и литературой. Он был при этом очень самобытен: почти всегда непредсказуем. В частности, в своих пристрастиях. Как-то зашла речь о крупнейших писателях ХХ века. Я задумался и стал перебирать наиболее "престижные" тогда (в середине пятидесятых) имена - Горький, Шолохов, Фолкнер, Роллан, Хемингуэй, Ремарк... Андрей Николаевич без колебаний вершинами мировой литературы нашего века назвал творчество А. Франса и Т. Манна. А когда речь зашла о поэзии, А. Н. также непредсказуемо для меня выделил 24-летнего тогда Евтушенко".

И второе. Безграничной была вера Андрея Николаевича в разум и творческие возможности человека. К каждому, с кем ему приходилось встречаться, он a priori относился с теми же высокими моральными и интеллектуальными требованиями, что и к самому себе. Точнее, он ничего не требовал, а просто общался с человеком как с равным. Конечно, во многих случаях это не соответствовало фактическому положению дел. И Андрей Николаевич не мог этого не видеть. Поэтому трудно согласиться с высказываемым иногда мнением, что он переоценивал своих собеседников. Это было бы явным упрощением. Скорее, он считал, что следует не опускать мысль до уровня разжеванной и легко усваиваемой "духовной пищи", а заставить человека проделать серьезную умственную работу и подняться до уровня мысли. Воспользуемся снова музыкальной аналогией: трудно воспитывать глубокие чувства, исполняя произведения Моцарта, Шумана, Баха, Бетховена (это любимые композиторы А. Н. Колмогорова) лишь в переработке для джаза или рок-ансамбля. Хотя это часто делается в наши дни.

Работа по осваиванию колмогоровской мысли была действительно очень непростой и доступной не всем. Если мы говорим о вере Андрея Николаевича в творческие возможности человека, то это не значит, что речь идет о каждом конкретном человеке, речь идет о талантливых представителях рода homo sapiens. Именно на них ориентировался А. Н. Колмогоров, подбирая себе сотрудников, которые могли бы развивать его многочисленные идеи. Ставя задачи своим ученикам, он часто "создавал такие ситуации, которые были сопряжены с потрясениями". (А. Н. Ширяев). Нечаянно или нарочно - в педагогических целях - он совершенно не интересовался, насколько ученик усвоил суть сказанного ему, хватит ли у него трудоспособности и практических возможностей выполнить заданное в назначенный срок.

Он как бы прикидывал задачу "на себя". Такой метод оказался довольно эффективным. Действительно талантливый, честолюбивый и трудолюбивый человек начинал верить в свои силы (раз в них верит Андрей Николаевич), работал как одержимый, чувствовал, что его "потолок" значительно выше, чем он мог предположить, и делался известным математиком. Тот, кому нехватало этих качеств, отходил в сторону. А. Н. Колмогоров как-то сказал, шутя, будущему профессору В. А. Успенскому: "В крайнем случае, если из вас ничего не выйдет, будете делать нам грамотные рефераты".

Педагогический метод А. Н. Колмогорова, как и всякий педагогический метод, заслуживающий этого названия, держится на старой истине: основой обучения и развития творческих способностей является интенсивная самостоятельная работа ученика; роль учителя при этом - помочь ему, предложить такую систему, такую организацию совместной работы ученика и учителя, которая оптимальна для достижения результата. В каком смысле оптимальна - это зависит и от ученика, и от учителя. Случай, когда первый талантлив, честолюбив и работящ, а второй - гениален, это и есть случай применимости метода А. Н. Колмогорова. Конечно, он неприменим, если ученик не обладает хотя бы одним из перечисленных качеств. Может быть, именно это и привело к неудаче педагогической реформы преподавания математики в средней школе, предпринятой под руководством А. Н. Колмогорова в 70-е годы. Средний учитель и средний ученик средней школы (а именно их должна была обучить новая программа) отнюдь не рвались к постижению основ современной математики и не обладали математической одаренностью. Не говоря уже об излишней любви к самостоятельной работе. А все это подразумевалось в предложенной программе. К сожалению, чудесные статьи и лекции Андрея Николаевича, обращенные к школьникам и учителям, нашли отклик только у той части, которая действительно была одержима математикой.

Стоило А. Н. Колмогорову организовать собственную физико-математическую школу-интернат для одаренных детей, как все стало на свои места. Сейчас насчитывается несколько сотен кандидатов и докторов наук из числа ее выпускников.

Не следует порицать общество в целом за то, что оно не любит классическую музыку - уж так оно создано. Но несомненно и то, что восприятие серьезной музыки и напряженная мыслительная работа математика - чем-то близкие вещи. А. Н. Колмогоров говорил: "По-видимому, между математическим творчеством и настоящим интересом к музыке имеются какие-то глубокие связи. Но выяснить и объяснить эти связи мне представляется довольно трудным. Замечу, впрочем, что мой друг Павел Сергеевич Александров рассказывал, что у него каждое направление математической мысли, тема для творческих размышлений, связывались с тем или иным конкретным музыкальным произведением".

Лузитания

Андрей Николаевич Колмогоров родился 25 апреля 1903 года. Отец его, Николай Матвеевич Катаев был агрономом, сыном священника. Мать, Мария Яковлевна Колмогорова - дочка угличского уездного предводителя дворянства, умерла при рождении сына. Воспитанием мальчика занялась ее сестра Вера Яковлевна. Она заменила Андрею Николаевичу мать, и он относился к ней, как к матери, до самой смерти Веры Яковлевны в 1950 году в возрасте 87 лет. Эта женщина сумела передать племяннику свои высокие гражданские идеалы, воспитала в нем ответственность и самостоятельность, нетерпимость к безделью и плохо выполненной работе. Раннее детство А. Н. Колмогорова прошло в селе Туношне под Ярославлем в усадьбе родителей матери.

Был ли он вундеркиндом? Да, как это следует из воспоминаний самого Андрея Николаевича: "Радость математического открытия я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность
1 = 1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4² и так далее.

В нашем доме под Ярославлем мои тетушки устроили маленькую школу, в которой занимались с десятком детей раннего возраста по новейшим рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал "Весенние ласточки". В нем мое открытие было опубликовано. Там же я публиковал придуманные мною арифметические задачи".

После переезда в Москву в возрасте 7 лет, А. Н. Колмогоров поступает в частную гимназию. Андрей Николаевич говорил, что учиться в этом заведении было интересно. В нем господствовали либеральные взгляды, велось совместное обучение мальчиков и девочек по программе мужских гимназий, поэтому гимназия постоянно находилась под угрозой закрытия. Легко понять, почему отличные успехи на экзаменах рассматривались учениками как дело чести.

Чем ближе к окончанию школы, тем труднее становилась жизнь в Москве. Надо было зарабатывать. Сочетать работу с учебой могли лишь самые настойчивые. В 1919-1920 годах Андрей Николаевич работает на постройке железной дороги Казань-Екатеринбург и одновременно занимается самостоятельно, готовясь сдать экзамен за среднюю школу экстерном. Это ему удается - в 1920 году он получает аттестат об окончании школы.

Встал вопрос о выборе жизненного пути. Увлечение математикой соперничает с другими интересами А. Н. Колмогорова. В то время на него производила большое впечатление своей научной значимостью известная книга К. А. Тимирязева "Жизнь растений". Чуть позже он настолько сильно увлекся историей и социологией, что "первым научным докладом, который я сделал в семнадцатилетнем возрасте в Московском университете, был доклад в семинаре профессора С. В. Бахрушина о новгородском землевладении. В докладе этом, впрочем, использовались (при анализе писцовых книг XV-XVI веков) некоторые приемы математической теории". Кроме того, "техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука". Интересно, какой смысл вкладывает Андрей Николаевич в слово "тогда"? Надо ли думать, что теперь это не так? А если не так, то потому, что значение фундаментальной науки теперь всем ясно, или потому, что техника скомпрометировала себя некоторыми антигуманистическими достижениями? К сожалению, мы не можем ответить на этот вопрос.

В результате, он поступил одновременно и на физико-математическое отделение Московского университета, и на металлургический факультет Менделеевского института. "Но скоро интерес к математике перевесил сомнения в актуальности профессии математика. К тому же, сдав в первые же месяцы экзамены за первый курс, я, как студент второго курса, получил право на 16 килограммов хлеба и 1 килограмм масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие. Одежда у меня была, а туфли на деревянной подошве я изготовил себе сам".

На первом курсе университета А. Н. Колмогоров слушает лекции Н. Н. Лузина по теории функций комплексного переменного и А. К. Власова по проективной геометрии. Николай Николаевич Лузин был виднейшим представителем московской математической школы того времени, известным и своими первоклассными работами в области теории функций и теории множеств, и новым подходом к работе с научной молодежью. А. Н. Колмогоров так характеризует стиль его работы:

"Существенным в этом подходе было вполне индивидуальное личное руководство, а также умение придавать избранной тематике особую значимость. Н. Н. Лузин настойчиво внедрял следующий метод работы (он сам работал таким образом и приучал к этому своих учеников): берясь за какую-либо проблему, надлежит смотреть на нее с различных точек зрения. Надо пытаться доказывать проблему и одновременно опровергать ее. Если доказательство не выходит, надо переходить к опровержению гипотезы, к построению противоречащего примера. Если не получается построение, надо снова вернуться к доказательству. И пока не получится результат, нельзя покидать данную область. В теории функций действительного переменного такая установка двойного видения (поиск доказательства — поиск опровержения), такой подход к делу, естественно, привел к культивированию чрезвычайно высокой техники построения примеров (или, как теперь принято говорить, контрпримеров). В этом направлении школа Н. Н. Лузина двадцатых годов была им поставлена на уровень, превосходящий все другие научные центры мира".

Говорят, в те годы один представитель ленинградской школы, тяготевшей к прикладным аспектам математики, на своих лекциях выражался примерно так: "Эта теорема справедлива во всех случаях жизни, если не считать примеров, специально придуманных московской математической школой".

Однажды студенту Колмогорову удалось показать, что некоторое утверждение, на котором Н. Н. Лузин решил построить свое доказательство интегральной теоремы Коши на лекции, ошибочно. Было решено, что Колмогоров доложит опровергающий пример на студенческом математическом кружке. Четкое изложение конструкции примера требовало достаточно серьезной математической техники. Консультировать докладчика стал Павел Самуилович Урысон.

Первокурсник Колмогоров сделался известным в Лузитании - так называли себя математики, работавшие под руководством Н. Н. Лузина. В следующем учебном году Андрей Николаевич посещал лекции Н. Н. Лузина и П. С. Александрова уже на правах "своего", получив №16 в иерархии "лузитанцев".

А. Н. Колмогоров очень тепло отзывается в своих воспоминаниях о П. С. Урысоне, одно время непосредственно руководившем его научной работой: "Московская математика того времени была богата яркими и талантливыми индивидуальностями. Но Павел Самуилович и на этом фоне выделялся универсальностью интересов в соединении с целеустремленностью в выборе предмета собственных занятий, отчетливостью постановки задач..., ясной оценкой своих и чужих достижений в соединении с доброжелательством в применении к достижениям самым маленьким". Обратим внимание на то, какие качества А. Н. Колмогоров считает ценными для ученого.

В 1921 году Андрей Николаевич начинает заниматься в семинаре Н. Н. Лузина по тригонометрическим рядам, в группе, которой руководил В. В. Степанов. Кратко поясним суть проблем, изучавшихся на нем. С одной стороны, речь идет о практически важной и понятной задаче разложения произвольной периодической функции на простые гармонические колебания, т. е. в ряд Фурье. Такой ряд очень легко написать для любой функции из очень широкого класса (требуется только интегрируемость по Лебегу на интервале длиной в период). Надо лишь вычислить интегралы - коэффициенты Фурье разлагаемой функции. Но затем возникает целый клубок проблем: оказывается, ряд Фурье может находиться в очень сложных отношениях с функцией, для которой он написан. Какова природа множества, на котором ряд сходится, сходится ли он к "своей" функции или к чему-либо еще, что можно сказать о скорости сходимости? Для функций простой природы, которыми может ограничиться обычная инженерная практика, эти вопросы были давно решены. Но математиков интересует исчерпывающий анализ, ибо их эстетика, их психологический комфорт - это полная ясность. В теории тригонометрических рядов имелись трудные и давно стоящие задачи, без решения которых математики не могли спать спокойно.

Первый сильный результат А. Н. Колмогорова — решение поставленной Н. Н. Лузиным задачи о выяснении того, насколько медленно могут убывать коэффициенты ряда Фурье. Решение оказалось таким: как угодно медленно. После этого Н. Н. Лузин торжественно присвоил А. Н. Колмогорову звание своего ученика и начал заниматься с ним индивидуально. Вскоре, летом того же 1922 года, А. Н. Колмогоров выполнил работу, которая сделала его всемирно известным математиком в 19 лет. Он построил пример интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходился почти всюду. Впечатление, произведенное этой работой на математиков, хорошо иллюстрируется воспоминанием В. И. Арнольда, которому выдающийся французский математик М. Фреше говорил в 1965 году: "О, Колмогоров! Это тот замечательный молодой человек, который построил почти всюду расходящийся ряд Фурье!". Этот знаменитый пример заложил основы нового большого направления в теории тригонометрических рядов. Всего же А.Н. Колмогоровым опубликовано около десяти работ по тригонометрическим и ортогональным рядам, каждая из них оказалась началом больших исследований, продолжающихся и ныне другими математиками. Сам Андрей Николаевич так говорил о своих работах по этой тематике:

"Все направление моей работы по тригонометрическим и ортогональным рядам выросло из занятий в семинаре В. В. Степанова. С точки зрения преодоления трудностей, по-видимому, первое место принадлежит работе, где построен всюду расходяшийся ряд Фурье-Лебега. Довольно долго я работал надвое, стараясь поочередно то построить пример, то доказать его невозможность. Последним этапом была неделя непрерывных размышлений, закончившаяся возникшей внезапно конструкцией. Немного позднее без больших усилий возник аналитический вариант первоначальной чисто геометрической идеи, что позволило усилить первоначальный результат и построить ряд, расходящийся всюду".

Лекции П. С. Александрова привлекли внимание А. Н. Колмогорова к проблемам так называемой дескриптивной теории множеств. И все в том же 1922 году он проводит большое исследование по теории операций над множествами. Эта теория возникла вначале во Франции в трудах Э. Бореля, Р. Бэра, А. Лебега и других исследователей. В общих чертах она ставила перед собой задачу описания сложных множеств точек числовой прямой как результатов операций над множествами более простой структуры. И здесь работа А. Н. Колмогорова характеризуется трудностью задачи, наличием нового подхода, возможностями дальнейшего развития основной идеи. Исследование это стало исходным пунктом общей теории операций над множествами, которой занимались впоследствии многие ученые, в том числе Л. В. Канторович и А. А. Ляпунов.

И снова проза жизни. Стипендии не хватало. Параллельно с учебой в университете Андрей Николаевич в течение трех лет работал учителем математики и физики в средней школе. Этому делу он отдавался с энтузиазмом, одновременно с преподаванием выполнял функции секретаря школьного совета, воспитателя в интернате, вел биологический кружок. Видимо, возбужденный Тимирязевым интерес к биологии не угас. В университете ходил только на специальные курсы и семинары.

Все это никак не означало уменьшения интенсивности его математических раздумий. Разнообразие и зрелость, даже не зрелость, а фундаментальность работ Колмогорова-студента поражают. В 1925 году, в котором он закончил университет, вышли его первые публикации по теории меры и интеграла, математической логике, получившие широкую известность в математическом мире.

Непосредственно после окончания Московского университета, с которым он уже не расстанется до конца жизни, А. Н. Колмогоров становится аспирантом Н. Н. Лузина. В этом же 1925 году происходит знаменательное событие - Андрей Николаевич начинает серьезно заниматься теорией вероятностей, которую он сам считал своей основной научной специальностью.

Наука "на костях"

В теории вероятностей А. Н. Колмогоров сделал исключительно много, получив важные результаты в различных областях этой обширной в наше время науки. Но для каждого, кто хоть немного с ней знаком, имя Колмогорова связывается прежде всего с созданием аксиоматики теории вероятностей. Только после выхода в свет его монографии "Основные понятия теории вероятностей" (1933 г. — на немецком языке, 1936 г. — на русском) стало возможно говорить о теории вероятностей как о математической науке в современном смысле слова, основанной на системе аксиом.

"Конечная цель, - считал К. Вейерштрасс, - которую нужно всегда иметь в виду, состоит в том, чтобы достичь правильной точки зрения на фундамент науки...". В теории вероятностей это удалось А. Н. Колмогорову. Успех аксиоматики А. Н. Колмогорова, пишет известный математик Б. В. Гнеденко, "объясняется рядом обстоятельств, среди которых упомянем лишь следующие: она соответствовала общему духу математики того времени, тесно связала теорию вероятностей с метрической теорией функций и тем самым открыла перед ней богатейший арсенал хорошо разработанных методов исследования, позволила охватить единой простой схемой не только классические главы теории вероятностей, но и вновь возникшие ее понятия и проблемы".

История, точнее предыстория, теории вероятностей как математической науки длинна и богата идеями, личностями и событиями.

Сама исходная идея о решающей роли случая в системе природы, о случайности как "технологии" создания мира принадлежит, конечно, античным мыслителям-материалистам. Вот, например, стихи Лукреция:

Ибо начала вещей во множестве многоразлично От бесконечных времен постоянным толчкам подвергаясь, Тяжестью также своей гнетомые, носятся вечно, Всячески между собой сочетаясь и все испытуя, Что только могут они породить из своих столкновений. И удивляться нельзя, что они в положенья такие Между собою пришли и в такое движение, которым Держится нынешний мир в постоянном своем обновленье.

Но от этой философской идеи до попыток представить свойства случайности в форме, позволяющей изучать ее математически, - "дистанция огромного размера". Вполне естественно для природы человека, что продвижение на этом пути было стимулировано не только любознательностью, но и стремлением к обогащению. Азартные игры в кости, в карты и т. д. - вот основной источник задач, которые привели к первым вариантам определения вероятности, к разработке методов вычисления вероятностей. Это произошло на рубеже Средневековья и Ренессанса. Лука Пачиоли (1445-1514) уже решал вероятностную задачу, правда ошибался. Но Д. Кардано и Г. Галилей, которые тоже занимались некоторыми специальными вероятностными задачами, уже делали это лучше.

Но все сегодня согласны, что развитие теории вероятностей как самостоятельной науки начинается в 1654 году знаменитой перепиской Б. Паскаля и П. Ферма. Поводом для нее послужили два вопроса, заданных Паскалю его другом - кавалером де Мере. Имя этого аристократа навечно вошло в историю науки, что также подтверждает тезис о роли случайности в развитии. Первый вопрос, который решил, впрочем, и сам кавалер: сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы вероятность хотя бы однажды выбросить две шестерки была больше половины. Второй вопрос оказался выше возможностей кавалера. Суть его такова. Два игрока играют в азартную игру, состоящую из последовательно разыгрываемых партий. Шансы на выигрыш в каждой партии одинаковы. В начале игры партнеры делают одинаковые взносы. Ставку выигрывает тот, кто первым наберет n выигрышных партий (n фиксировано заранее). Как разделить ставку по справедливости, если игра прервана в момент, когда один игрок выиграл a, а другой b партий.

Паскаль и Ферма нашли ответы на вопросы, но дело, конечно, не в этом. А в том, что по ходу переписки вырабатывалась математическая концепция вероятности. И хотя само слово "вероятность" при этом даже не употреблялось, но фактически использовалось то определение вероятности, которое ныне называется классическим.

Напомним (или поясним) читателю сущность проблемы определения вероятности. Речь идет о том, чтобы приписать каждому событию, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания, число - его вероятность. Это число должно характеризовать шансы события реализоваться при проведении испытания. Например, в связи с первым вопросом де Мере, рассмотрим испытание - бросание двух игральных костей. Одно из случайных событий, которые могут произойти в результате этого испытания - выпадение двух шестерок. Обозначим это событие буквой A. Как оценить шансы наступления этого события числом? Подход, использованный Паскалем и Ферма, основан на двух обстоятельствах. Во-первых, все возможные результаты испытания можно разбить на так называемые элементарные исходы, т. е. такие события, что при каждой реализации испытания происходит одно и только одно из них. Во-вторых, шансы появления каждого элементарного исхода одинаковы. В самом деле, одна из двух бросаемых костей (назовем ее первой) с равными основаниями может дать любое количество очков от единицы до шестерки. Мы говорим "с равными основаниями", полагая что это "честная" кость - абсолютно правильный геометрически и однородный по плотности куб. То же самое можно повторить и по поводу второй бросаемой кости. Важно, что число очков, выпавшее на каждой кости, никак не зависит от числа очков, выпавшего на другой. Таким образом, в качестве элементарного исхода можно рассматривать пару чисел (a, b) где a - число очков, выпавшее на 1-й кости, b - на 2-й кости. При этом 1 Ј a Ј 6, 1 Ј b Ј 6. Ясно, что в результате каждого бросания двух костей реализуется одна и только одна из таких пар, и что у каждой пары имеются одинаковые шансы реализоваться (элементарные исходы равновероятны). Всего имеется 36 таких исходов. Скольким из них соответствует наступление интересующего нас события A - выпадения двух шестерок? Очевидно, одному-единственному: (6, 6). Вот и будем называть вероятностью A отношение числа "благоприятных" для него исходов k к общему числу m элементарных исходов

P(A) = k / m = 1 / 36.

Рассмотрим при том же испытании другое случайное событие B - сумма очков, выпавших при бросании двух костей четна. Действуя по тому же принципу, считаем благоприятные для события В исходы: (1, 1), (1, 3), (1, 5), ... , (6, 2), (6, 4), (6, 6) - всего, как легко видеть, 18 исходов. Итак: k = 18 и

P(B) = 18 / 36 = 1 / 2.

Пусть теперь C - выпадение числа очков, меньшего 13. Очевидно, для C все исходы благоприятны - это достоверное событие. Имеем

P(C) = 36 / 36 = 1.

Наконец, пусть событие D заключается в том, что брошенные кости не упали на игорный стол, а повисли в воздухе. Ясно, что при этом k = 0 (D - невозможное событие), и

P(D) = 0 / 36 = 0.

Точно так же, невозможным событием является, например, выпадение отрицательной суммы очков.

Определение вероятности события как отношения числа благоприятных элементарных исходов к числу всех элементарных исходов - это и есть классическое определение вероятности. Оно оказалось вполне удовлетворительным во всех тех случаях, где можно было говорить о конечном наборе элементарных исходов и быть уверенным в их равновероятности. Развиваемая на основе этого определения теория достигла значительного прогресса. Х. Гюйгенс - "О расчетах в азартных играх" (1658 г.); А. де Муавр - "Об измеренении случайности, или о вероятности результатов в азартных играх" (1711 г.); Я. Бернулли - "Искусство догадок" (1713 г.), и, наконец, П. С. Лаплас - "Аналитическая теория вероятностей" (1812 г.) - вот основные его этапы. Именно в работе Я. Бернулли впервые было сформулировано классическое определение вероятности.

Однако, классическое определение вероятности было очень узким для науки о законах случая. Слишком обременительными оказались ограничения, при которых оно имело смысл. Какова вероятность, что "нечестная" кость (например, сделанная в виде неправильного шестигранника) даст при бросании шесть очков? Или, что, человек, родившийся в Европе в ХХ веке, проживет до 70 лет? Или что пароход, вышедший из Лондона в Нью-Йорк, благополучно доберется до цели? В первом случае элементарные исходы не равновероятны. В остальных даже непонятно, как представить себе систему элементарных исходов.

Одним из главных путей выхода из подобных затруднений явился так называемый статистический подход к пониманию вероятности. Он радикально отличается от классического и исходит из предположения, что испытание, в котором может появиться случайное событие A , можно идентично воспроизвести любое число раз (хотя бы в принципе). Если имеется серия из m таких идентичных испытаний, и событие происходит в k испытаниях серии, то число k / m называется относительной частотой события A в этой серии. Огромный опыт наблюдения массовых случайных явлений (обработка статистических данных) показал, что справедлив закон устойчивости относительных частот: при больших m частота k / m события A очень слабо зависит от конкретной серии, и тем слабее, чем больше m. Отсюда совсем недалеко до гипотезы о том, что существует число P(A), к которому приближаются относительные частоты события A и тем теснее, чем длиннее серии испытаний. Это число и называется вероятностью A. Разумеется, точно определить это число невозможно (в отличие от классической вероятности), всегда можно сказать лишь, что P(A) @ k / m. Ведь нельзя же реализовать серию испытаний бесконечной длины. Но это уже другой вопрос. Главное - уверенность в том, что P(A) существует.

В тех случаях, когда вероятность можно определить и классическим путем, оказалось, что классическое и статистическое определения согласуются с высокой степенью точности.

Принципиально важным было еще одно обстоятельство. И классическое, и статистическое определения вероятности позволяют легко установить две важные теоремы.

Теорема сложения вероятностей: P(A + B) = P(A) = P(B) - вероятность наступления в результате испытания хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (несовместные события - это те, которые не могут произойти одновременно).

Теорема умножения вероятностей: P(AB) = P(A)P(B) - вероятность одновременного наступления двух независимых событий есть произведение вероятностей этих событий (события независимы, если реализация одного из них не оказывает никакого влияния на вероятность реализации другого).

Эти теоремы, вместе с вытекающими из обоих определений неравенством 0 Ј P(A) Ј 1 для любого случайного события A, составили основу математического аппарата, с помощью которого можно вычислять вероятности одних событий, зная вероятности других, но не зная точно, что такое вероятность. А. Реньи пишет о математиках XVII-XVIII в.в. - создателях теории вероятностей: "В значительной мере они не ощущали потребности в формальном определении вероятности, поскольку считали вероятность основным понятием, значение которого очевидно и не требует определения. Настоящую задачу они усматривали в том, чтобы в конкретных вопросах вычислить вероятности событий, которые представляют для них интерес. Принимая во внимание уровень развития математики того времени, этому не приходится удивляться: ведь и понятия числа, функции, предела равным образом не были выяснены, в современном смысле этого слова, но тогда в этом и не ощущали потребности".

Читатель, возможно, помнит из нашей первой беседы, что развитие математической теории на интуитивном уровне, без аккуратной аксиоматизации, чревато парадоксами. Да, парадоксы не обошли и теорию вероятностей. И, как обычно при их появлении в дело вмешалась бесконечность. А именно, речь идет о задачах, где число всех элементарных исходов бесконечно, и даже "очень бесконечно": если изображать исходы точками плоскости (прямой, пространства), они заполнят сплошным образом некоторую область D. Попытки обобщить классическое определение вероятности на подобные случаи привели к так называемому геометрическому определению вероятности: считая все исходы равновероятными (вероятности ноль, разумеется), "естественно" приписать событию A в качестве вероятности отношение:

P(A) = S(A) / S(D)

площади, занятой благоприятными для A исходами, к площади всей области D (в случае прямой или пространства вместо площади надо рассматривать длину или объем соответственно).

Казалось бы, все хорошо, и даже красиво. Но дело в том, что сам процесс сопоставления точек плоскости элементарным исходам испытания неоднозначен: в качестве координат точки можно рассматривать различные числовые характеристики исхода, да и трактовать их можно как декартовы, полярные или другие координаты точки. Поэтому в некоторых задачах возникали разные значения вероятности одного и того же события. Снятие этих противоречий требовало глубокого проникновения в суть задачи, четкой формулировки условий испытания и анализа смысла равновероятности. Большим мастером конструирования подобных парадоксов геометрической вероятности был Ж. Бертран. Читатель найдет его задачи в любом достаточно подробном учебнике по теории вероятностей.

С середины XIX века развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых - П. Л. Чебышева и его учеников А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. Во все современные курсы теории вероятностей входят закон больших чисел Чебышева, цепи Маркова, предельная теорема Ляпунова.

Теория вероятностей необычайно долго, вплоть до 30-х годов ХХ века, оставалась в стороне от общего процесса перевода математических наук на рельсы аксиоматической формализации. Парадоксы геометрических вероятностей, явная интуитивность статистического определения вероятности, споры о логическом несовершенстве классического определения (понятие вероятности определяется через понятие равновероятности - не порочный ли это круг), споры о субъективности философского толкования вероятности как меры уверенности исследователя - все это продолжалось. Поэтому еще в начале нашего века многие считали теорию вероятности "не совсем математикой", а чем-то, расположенным ближе к физике или философии. Да, в общем-то, если подходить с современными мерками, так оно и было. Тот факт, что в XIX веке К. Гаусс, П. С. Лаплас, С. Д. Пуассон, П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. Пуанкаре и другие смогли много сделать в теории вероятностей, открыв в ней целый ряд новых направлений, предполагает высокую естественно-научную эрудицию этих исследователей, их способность проникать в физическую суть рассматриваемых явлений.

Фанатик и идеолог аксиоматического метода Д. Гильберт отмечал необходимость формализации теории вероятностей. В своем знаменитом докладе на Международном конгрессе математиков в Париже (1900 г.), где были сформулированы важнейшие проблемы математики, оставленные XIX веком в наследство XX-му, он даже отнес теорию вероятностей к физическим наукам: "С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь - теория вероятностей и механика".

Важен последний шаг

Попытки решения этой задачи были предприняты С. Н. Бернштейном в 1917 г. и Р. фон Мизесом в 1919 г. Первый из них исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности, второй - из статистического подхода к понятию вероятности. Но лишь в 1933 г. А. Н. Колмогорову удалось решить задачу до конца.

Заслуга А. Н. Колмогорова состоит не только в том, что он внес, выражаясь его собственными словами, "полную ясность в формальное строение теории вероятностей", но и в том, что для этого не понадобилось конструировать какую-либо новую систему формальных (аксиоматически определяемых) понятий, как это пытались сделать его предшественники.

Андрей Николаевич сумел использовать для аксиоматизации теории вероятности уже готовый мощный инструмент - так называемую теорию меры. Идея такого использования принадлежит не ему. Ее высказывал Э. Борель в 1909 г. и начинал развивать А. Ломницкий в 1923 г. Это оказалось трудным делом. Но мы уже знаем А. Н. Колмогорова именно как специалиста по трудным проблемам. Первый вариант его аксиоматики теории вероятностей был опубликован в 1929 г. ("Общая теория меры и исчисление вероятностей"), окончательный результат появился в 1933 г. в виде уже упоминавшейся классической монографии.

Как разделить, что в колмогоровской аксиоматике колмогоровское, а что - его предшественников? Ну а как разделить, что в специальной теории относительности эйнштейновское, а что принадлежит В. Фогту, Г. А. Лоренцу и А. Пуанкаре. Ведь В. Фогт еще в 1887 г. доказал, что в пространстве-времени существует преобразование координат, при котором уравнения Максвелла остаются инвариантными. Но он не сумел разобраться в физике своих математических конструкций. Г. А. Лоренц, чье имя носит это преобразование, не захотел отказаться от эфира и абсолютного времени. А. Пуанкаре, ближайший предшественник А. Эйнштейна, говорил о специальном принципе относительности, неявно пользовался четырехмерным пространством-временем, высказывался против эфира. Но лишь А. Эйнштейн явно и сознательно положил эти концепции в основу математической теории.

"Перечитывая сегодня работы, заложившие основы теории относительности, пробираясь через дебри рассуждений и математических формул, начинаешь отчетливо представлять себе, как кирпичик за кирпичиком выстраивалось здание науки, и проникаешься глубоким уважением к его создателям. Открывая же работу А. Эйнштейна 1905 года, облегченно вздыхаешь: проливаемый ею свет выводит уставшего и заблудившегося путника на новые чудесные просторы великой Природы", - считает Э. Шмутцер, специалист по истории физики.

В значительной степени эти слова можно отнести и к колмогоровской теории вероятностей. Многочисленные классические, статистические, геометрические построения, философские осмысления, азартные игры и демографические наблюдения - вся эта огромная пирамида, на склонах которой видны ступени лестниц предшественников, вдруг оказалась внизу. Теперь она называлась "интуитивные предпосылки теории вероятностей". А сама математическая (теперь уже с полным правом) теория вероятностей явилась как совокупность логических следствий из нескольких аксиом теории меры.

Так уж бывает в моменты кризисов, и не только в науке, что находится один человек, которому удается осмыслить все накопившиеся противоречия и парадоксы, все попытки предшественников их преодолеть; удается сделать последний шаг - шаг от количества к качеству - и предложить новую, казалось бы, неожиданно простую точку зрения на знакомые вещи. Для такого шага нужны глубина мысли, смелость и удача. Когда он уже сделан, коллеги с изумлением вопрошают себя: "Почему мы этого не сделали? Ведь это же так просто и естественно!".

Поясним содержание аксиом теории меры и теории вероятностей.

Основой построения теории меры является, прежде всего, некоторое множество X, природа его элементов несущественна. Если говорить о теории вероятностей, то X называется множеством элементарных исходов испытания. Далее, должно быть задано некоторое семейство F частей этого множества, которое является s-алгеброй. Это значит, что:

а) само X входит в F;
б) пустое множество входит в F;
в) дополнение любого множества, входящего в F, до X входит в F;
г) объединение и пересечение множеств из F также входят в F, даже если объединяются или пересекаются счетное количество множеств.

На языке теории вероятностей множества семейства F называются событиями. Само X - достоверное событие, - невозможное событие. Наконец, на семействе F должна быть задана неотрицательная s-аддитивная функция множества m, называемая мерой. Это значит: для любого A ' F m(A) >= 0; если A₁, A₂, ... , A_n, ... - конечная или счетная совокупность множеств из F, попарно не пересекающихся, а A - их объединение, то

m(A) = m(A₁) + m(A₂) + m(A₃) + ...

В случае теории вероятностей добавляется условие нормировки m(X) = 1, и m(A) называется вероятностью события A.

Вот, собственно и вся аксиоматика. Теория меры возникла в результате исследования и обобщения таких понятий как длина, площадь, объем, масса и т. д., суть которых в том, что множествам сопоставляются числа, измеряющие их размеры или количество содержащегося в них какого-либо числового признака. Этот признак должен обладать свойством аддитивности - складываться при сложении (объединении) непересекающихся множеств. На основании опыта интуитивной теории вероятностей вероятность события оказалась такого рода признаком, если толковать событие как подмножество множества X элементарных исходов.

Видимо требуют дополнительного пояснения две вещи. Во-первых, почему мера сопоставляется не всем частям множества X, а только элементам некоторой s-алгебры F. Ответ прост: не существует удовлетворительного способа определения площади плоского множества таким образом, чтобы каждое множество плоскости имело площадь (было измеримым). Поэтому надо рассматривать только те множества, которые имеют площадь. С другой стороны, удается так определить понятие площади, что простейшие операции над измеримыми множествами (дополнение, объединение, пересечение) дают снова измеримые множества, т. е., как говорят, семейство измеримых множеств образует алгебру. Это важно для формального развития теории площадей. Сказанное о площадях верно и для многих других практически важных мер. В том числе и для вероятности, которую в конкретных случаях, часто приходится задавать с помощью мер типа площади.

Во-вторых, зачем нужно, чтобы F было s-алгеброй, т. е. зачем рассматривать объединения и пересечения элементов из F в счетном, а не только конечном, количестве? Это удобнее с технической точки зрения. Во многих областях математики, как мы знаем, вводятся бесконечные множества и процедуры (суммирование рядов, дифференцирование, интегрирование и т. д.). Это не необходимо для правильного отражения реальности в математических моделях, но зачастую удобно, т. е. технически проще. Как говорит А. Н. Колмогоров, "большая простота обращения с дифференциалами и производными по сравнению с конечными приращениями и их отношениями общеизвестна". Надо только, чтобы постулируемые свойства бесконечности не приводили к противоречиям логического характера и не противоречили нашей интуиции.

"Поставив теорию вероятностей на теоретико-множественную основу, точнее на фундамент теории множеств и теории мер, Колмогоров одним махом дал не только логически удовлетворительное обоснование теории вероятностей, но и включил ее в кровеносную систему современной математики, позволив тем самым использовать развитые ее ветви для нужд теории вероятностей. По простоте и естественности, а также упомянутым преимуществам теория Колмогорова быстро стала общепринятой и служит твердой основой для построения теории вероятностей на протяжении последних 30 лет", - писал в 1969 году известный математик А. Реньи.

Законы Менделя и прогноз погоды

Сложность математического аппарата не позволяет сколько-нибудь подробно рассказать о содержании других работ Андрея Николаевича по теории вероятностей и таким близким к ней разделам математики, как математическая статистика и теория случайных процессов. Число этих работ велико, и все они насыщены глубокими идеями, оказавшими влияние на дальнейшее развитие науки. Приведем авторитетное свидетельство Н. Винера, взятое из его книги "Я - математик": "Когда я писал свою первую работу по теории прогнозирования, я не предполагал, что некоторые из основных математических идей этой статьи были уже опубликованы до меня. Но вскоре я обнаружил, что незадолго до второй мировой войны советский математик А. Н. Колмогоров напечатал в "Докладах" Французской академии небольшую, но очень важную заметку, посвященную этой же теме... Тем не менее все идеи по этому поводу, которые мне казались действительно глубокими, появились в заметке А. Н. Колмогорова до того, как я опубликовал свою статью, хотя я узнал об этом только через некоторое время".

Развитые А. Н. Колмогоровым методы сыграли важную роль в решении самых разнообразных прикладных задач. Исследования прикладного характера были выполнены и самим Андреем Николаевичем, они относились к математической геологии, теории стрельбы, гидро- и аэромеханике, генетике. На одной из этих работ мы остановимся подробнее. Она называется "О новом подтверждении законов Менделя" и опубликована в 1940 году.

Грегор Мендель, монах и преподаватель математики, скрещивал в монастырском саду в г. Брно различные виды гороха. Данные о результатах своих опытов он опубликовал в 1865 году в местном журнале. Лишь в 1900 году эти результаты стали общеизвестными и легли в основу новой науки - генетики как законы Менделя. Кратко и упрощенно поясним суть одного из этих законов.

Наследование признаков зависит от специальных носителей, позднее названных генами. Все клетки живого организма, кроме половых (гамет), несут одинаковый набор из пары генов. Каждый ген пары может находиться в одной из форм (аллелей) - A или a. В соответствии с этим, организм может иметь один из трех генотипов AA, aa или Aa (гибрид). Предполагается, что аллель A является доминантной, аллель a - рецессивной. Это означает, что особи генотипа Aa имеют те же наблюдаемые признаки (у Менделя - цвет семян гороха или их форма), что и генотипа AA, влияние гена a проявляется лишь у особей генотипа aa.

Гаметы содержат только по одному гену каждой пары. Поэтому особи AA или aa производят гаметы только одного вида, а особи Aa - в равном количестве гаметы A и a. Новый организм развивается из двух родительских гамет, от них он получает свои гены. Если считать, что каждый родительский ген передается с вероятностью 1/2, а передача признаков в различных поколениях происходит независимо, то при скрещивании гибридов Aa и Aa генотипы AA, Aa и aa появляются с вероятностями соответственно 1/4, 1/2 и 1/4. Поскольку признак A является доминантным, доля его в достаточно обширном потомстве второго поколения гибридов должна составлять 3/4, а признака a - 1/4. Именно к такому выводу на основании своих опытов пришел Г. Мендель.

Преследования генетики и генетиков нашей стране начались в 30-х годах. Роковую роль в этом сыграл журнал "Яровизация", создателем и главным редактором которого был Т. Д. Лысенко. В 1937 году на страницах журнала говорилось о превращении генетики "в служанку ведомства Геббельса", о "троцкистских агентах международного фашизма", ищущих любые лазейки, чтобы пробраться в советскую науку. В 1938 году Т. Д. Лысенко, ставший фаворитом Сталина, был избран (фактически назначен) президентом ВАСХНИЛ. Три его предшественника на этом посту, в том числе всемирно известный биолог и генетик Н. И. Вавилов, были репрессированы.

В 1939 году журнал "Яровизация" поместил статью Н. И. Ермолаевой, одной из сотрудниц Т. Д. Лысенко. Она рассадила томаты второго поколения по ящикам, причем каждый ящик засевался семенами, взятыми из плодов ровно одного растения первого поколения. Исследуемыми признаками служили окраска цветка и пазухи листа и окраска семядолей - первых листов зародышей. Когда были взяты данные по отдельным семействам (ящикам), то выяснилось, что частоты проявления доминантного признака у гибридов второго поколения довольно сильно колеблются, не совпадая в точности с 3/4. Отсюда был сделан вывод, что законы Менделя не выполняются.

Разобраться в результатах Н. И. Ермолаевой А. Н. Колмогорова попросил А. С. Серебровский, организатор и первый заведующий кафедрой генетики МГУ, академик ВАСХНИЛ. Андрей Николаевич применил к анализу данных статьи аппарат математической статистики. В соответствии с правилами этой науки, он сформулировал две гипотезы. Одна из них, названная гипотезой независимости, выдвигается сторонниками менделевской и моргановской генетики, ее суть изложена выше. Другая или, как говорят в математической статистике, альтернативная гипотеза, поддерживалась школой Т. Д. Лысенко. Она состояла в том, что селективное оплодотворение и неравная жизнеспособность играют всюду столь решающую роль, что "рассмотрения, опирающиеся на гипотезу независимости, для биологии бесплодны".

Далее в работе А. Н. Колмогорова доказывается, что менделевская теория предсказывает большую, чем наблюдалось в экспериментах, близость частоты доминантного признака лишь в числе наблюдений, превышающем 12000. При фактическом числе семейств порядка сотен совпадение с этой теорией следует признать очень хорошим.

Затем для анализа результатов экспериментов использовался метод, предложенный А. Н. Колмогоровым в статье "Об эмпирическом определении закона распределения" (1933 г.). Сейчас в математической статистике этот метод общепризнан и называется критерием Колмогорова. Полученное хорошее совпадение эмпирической и теоретической кривых, подтвержденное численными оценками, приводит к следующему выводу: материал работы Н. И. Ермолаевой, вопреки ее собственному мнению, "оказывается блестящим новым подтверждением законов Менделя".

Понятно, что публикация подобного вывода в те годы требовала от автора подлинной гражданской смелости. Андрею Николаевичу всегда было присуще обостренное чувство личной ответственности за судьбу науки в стране. В 60-е годы он стал одним из активнейших участников битвы за кибернетику.

Вероятностные законы регулируют ход самых разных процессов в природе. Наверное поэтому, а еще и потому, что академик любил трудные задачи, его внимание привлекла турбулентность - явление, наблюдаемое при течении жидкостей и газов, часто встречающееся и в природе, и в технических устройствах. Оно заключается в том, что для течения характерны беспорядочные пульсации скорости, давления и других гидродинамических величин. Эти пульсации можно наблюдать на улице современного города сразу после сильного дождя или во время интенсивного таяния снега, когда устремляющиеся к водостокам ручьи покрыты тонкой радужной пленкой бензина.

Турбулентность в атмосфере хорошо видна на картинах распределения облаков, показываемых по телевидению метеорологами в конце сводки новостей. Можно сказать, что турбулентность - естественное состояние жидкости, движущейся в больших объемах и с большими скоростями, поэтому ее изучение особенно важно для океанологии и метеорологии.

Андрей Николаевич писал: "Интерес к изучению турбулентных потоков жидкостей и газов возник у меня в конце 30-х годов. Мне сразу стало ясно, что основным математическим аппаратом исследований должна стать теория случайных функций многих переменных (случайных полей), которая в то время только зарождалась. Кроме того, мне стало ясно, что трудно надеяться на создание замкнутой в себе чистой теории. За отсутствием такой теории придется опираться на гипотезы, получаемые из обработки экспериментальных данных. Важно было и получить талантливых сотрудников, способных работать в таком смешанном плане, сочетая разработку теории с экспериментом".

Талантливых сотрудников, как, впрочем, и в любые другие годы, Андрей Николаевич нашел среди своих учеников. Ими были А. М. Обухов, М. Д. Миллионщиков, А. С. Монин, А. Я. Яглом - все они впоследствии стали крупными учеными.

Основные работы А. Н. Колмогорова по теории турбулентности, опубликованные в начале 1941 года, имели не формально-математический, а отчетливо физический характер. В их основе лежало глубокое проникновение в самую суть сложных нелинейных процессов, подлинная физическая интуиция. Обнаруженные А. Н. Колмогоровым законы в дальнейшем многократно сопоставлялись с данными измерений, полученными в лабораторных условиях, атмосфере, океане. Они всегда оказывались выполненными с высокой степенью точности. В 60-х годах Андрей Николаевич вернулся к этой тематике и получил ряд новых результатов.

Надо сказать, что теория турбулентного движения еще далека от своего завершения. Известный специалист в области гидро- и аэромеханики Т. фон Карман в 1961 году говорил, что когда он, наконец, предстанет перед создателем, то первое, о чем он попросит, будет раскрытие тайны турбулентности. Во всем мире на фундаментальные исследования турбулентности затрачиваются огромные усилия. С помощью современных компьютеров стало возможным прямое численное моделирование турбулентности. И, все же, общепринятой теории пока нет, на природу турбулентности существуют различные и даже противоположные точки зрения. Тайна остается нераскрытой.

Построенная А. Н. Колмогоровым теория нашла приложения, на ней, например, основаны многие современные методы расчета распространения в турбулентной среде (атмосфере или океане) света, звука, радиоволн.

Размышление об информации и информация к размышлению

Существует множество определений понятия "информация". От самых общих возвышенно-философских типа "информация есть отражение реального мира" или "информация есть всеобщее свойство материи и мера организации систем" до сугубо практических "информация есть сведения, являющиеся объектом сбора, преобразования, хранения и передачи". Так или иначе, теория информации имеет дело с отображениями предметов или явлений в виде символов, образов. Символы могут быть самыми разнообразными, такими, например, как последовательность электромагнитных импульсов, поступающая со спутника связи, устная и письменная речь, телевизионное изображение, генетический код, записывающий наследуемые свойства в биологических клетках. Создание оптимальной системы символов, отражающих свойства объектов (кодирование), получение сведений об объектах по свойствам символов (декодирование) - вот типичные задачи теории информации.

Сейчас теорию информации считают одним из разделов кибернетики. Во введении к первому изданию книги "Кибернетика", вышедшему в свет в 1948 году, Норберт Винер пишет: "... нам пришлось разработать статистическую теорию количества информации. В этой теории за единицу количества информации принимается количество информации, передаваемое при одном выборе между равновероятными альтернативами. Такая мысль возникла почти одновременно у нескольких авторов, в том числе у статистика Р. А. Фишера, у д-ра К. Шеннона из Белловских телефонных лабораторий и у автора настоящей книги. При этом Р. А. Фишер исходил из классической статистической теории, К. Шеннон - из проблемы кодирования информации, автор настоящей книги - из проблемы сообщения и шумов в электрических фильтрах. Следует, однако, отметить, что некоторые мои изыскания в этом направлении связаны с более ранней работой А. Н. Колмогорова в России, хотя значительная часть моей работы была сделана до того, как я обратился к трудам русской школы".

Глубокие работы американского ученого Клода Шеннона были опубликованы также в 1948 году. С помощью методов теории вероятностей К. Шеннон искал оптимальные пути кодирования и декодирования информации в целях ее передачи и хранения. Вполне естественно, что первые публикации К. Шеннона, написанные на уровне "физической строгости", привлекли внимание А. Н. Колмогорова. В предисловии к русскому переводу этих работ академик писал: "Значение работ Шеннона для чистой математики не сразу было достаточно оценено. Мне вспоминается, что еще на международном съезде математиков в Амстердаме (1954) мои американские коллеги, специалисты по теории вероятностей, считали мой интерес к работам Шеннона несколько преувеличенным, так как это более техника, чем математика. Сейчас такие мнения вряд ли нуждаются в опровержении. Правда, строгое математическое "обоснование" своих идей Шеннон в сколько-нибудь трудных случаях предоставил своим продолжателям. Однако, его математическая интуиция изумительно точна...".

Строительство дома обычно начинается с сооружения фундамента. При строительстве здания науки фундамент обычно появляется довольно поздно. О фундаменте дворца математики мы говорили в первой беседе. Для технических наук роль фундамента играют отдельные разделы фундаментальных (обратим внимание на сходство терминов) наук, таких как математика, физика, химия, биология.

Создателями прочного математического фундамента теории информации стали А. Н. Колмогоров и его ученики И. М. Гельфанд и А. М. Яглом. Их работы определили высокий стандарт уровня математической строгости, которого с тех пор неизменно придерживаются и математики, и инженеры, занимающиеся теорией информации. Этот же стандарт выдержан и в более поздних, также весьма содержательных работах К. Шеннона.

Первой важной задачей новой теории было нахождение количественной меры информации, т. е. численной оценки "информативности" сообщения. Когда можно считать, что сообщение не несет никакой информации? Очевидно, тогда, когда сообщаемые сведения нам и так известны. Например: "В этом году после зимы наступит весна". Если же интересующее нас явление может реализоваться различными способами (имеется неопределенность), то всякое сообщение, исключающее некоторые способы и, тем самым, уменьшающее неопределенность, содержит ненулевую информацию.

Разрабатывая эту идею, т. е. характеризуя неопределенность источников сообщений, К. Шеннон воспользовался термином "энтропия". Этот термин был введен в науку одним из основателей термодинамики немецким физиком Р. Клаузиусом (1865). Понятие энтропии сыграло принципиальную роль в строгом построении статистической физики. Один из ее авторов, Л. Больцман, считавший, что "для практики нет ничего лучшего, чем хорошая теория", доказал в 1877 году, что энтропия является "мерой неопределенности" состояния газа.

Первые шаги к введению понятия энтропии в теорию информации были сделаны в 1928 году американским инженером-связистом Р. Хартли. Он предложил характеризовать неопределенность опыта с k различными исходами количеством информации I = log₂ k. При этом результат опыта с двумя возможными исходами содержит единичную информацию в 1 бит. От работ Р. Хартли берет начало комбинаторное направление в теории информации, игнорирующее возможное различие в характере исходов. Понятно, что возможности этого направления ограничены. Разве одинакова информация, содержащаяся в двух следующих сообщениях: "Монета упала гербом вверх" и "На луне обнаружена жизнь". В первом случае два исхода представляются равновозможными. Во втором - отнюдь нет. Почему же оба сообщения должны нести одинаковую информацию в 1 бит ?

Основы вероятностного направления теории информации, учитывающего этот "нюанс", были, как уже отмечалось, заложены К. Шенноном. Он заметил, что в случае k равновероятных исходов, имеющих вероятность p = 1 / k количество информации по Хартли есть I = log₂ k = -log₂ p_i. Пусть теперь имеется N возможных исходов опыта, из которых k различных, причем i-ый исход имеющий вероятность p_i, повторяется n_i раз и содержит количество информации I_i = -log₂ 

p_i, i = 1, 2, ... , k. Тогда среднее количество информации, содержащееся в одном опыте, есть

Заменяя частоты исходов n_i / N их вероятностями p_i, К. Шеннон приходит к своему определению энтропии

Понятие энтропии позволяло решить много важных задач, относящихся к передаче и хранению дискретных сообщений. Однако все попытки перенести его на случай непрерывных сигналов оказались безуспешными. "Далее я настаиваю на той идее, что основным понятием, допускающим обобщение на совершенно произвольные непрерывные сообщения и сигналы, является не непосредственно понятие энтропии, а понятие количества информации I(x, h) в случайном объекте x относительно объекта h", - эта фраза из доклада А. Н. Колмогорова "Теория передачи информации" на заседании АН СССР в 1956 году и следующие за ней формальные математические построения определили новый подход к вероятностному направлению в теории информации.

В начале 60-х годов Андрей Николаевич решил реконструировать фундамент теории информации. Об этом периоде своей работы он писал так: "...занятия совсем общими полуфилософскими размышлениями у меня самого заняли больше времени и энергии, чем, может быть, кажется издали. В такой выработке совсем общих взглядов итог усилий заключается не в формулировке точно фиксированных "результатов", а в общей перестройке собственного сознания и размещения всего в надлежащей перспективе. Поэтому потом оказывается, что как бы и ничего не открыл "нового", а потратил много сил и времени". Академик лукавит. Он открыл, всего-навсего, новое направление в теории информации. С появлением в 1965 году статьи А. Н. Колмогорова "Три подхода к определению понятия количества информации" родилась алгоритмическая теория информации, в основе которой лежало понятие колмогоровской сложности конечного объекта. Продолжая исследования, Андрей Николаевич приходит к следующему решительному выводу: "Теория информации должна предшествовать теории вероятностей, а не опираться на нее". Строгое построение теории вероятностей на базе теории информации - дело будущего.

В 1960 году Андрей Николаевич организовал при кафедре теории вероятностей МГУ статистическую лабораторию. Одним из направлений стало применение математических методов в языкознании. Анализ большого числа текстов показывает, что в русском языке частоты появления различных букв колеблются от 0,002 для "ф" до 0,090 для "о". Приравняв эти частоты вероятностям, можно по формуле (1) приближенно вычислить энтропию, приходящуюся на одну букву русского текста: H = 4,35 бит (при этом учитывается и пробел между словами). Результат этот весьма неточен, так как последовательные буквы русского текста отнюдь не независимы друг от друга: после гласной, как правило, идет согласная, а после "ш" никак не могут появиться ни "ы", ни "я". Созданная А. Н. Колмогоровым методика позволила молодым сотрудникам лаборатории получить уточненные данные.

Изучая сложность прозаических и поэтических литературных текстов, Андрей Николаевич пришел к выводу о необходимости разложения энтропии языка H в сумму слагаемых: H = h₁ + h₂. Здесь h₁ - степень гибкости в выражении одной и той же мысли разными способами, h₂ - информационная емкость языка, т. е. количество разных мыслей, которые могут быть изложены текстом одной и той же длины. Важно, что обе эти величины поддаются достаточно точному измерению. Соотношение между h₁ и h₂ позволило формально, с точки зрения теории информации, проанализировать различия между прозой и поэзией. Все глубже погружаясь в поэзию, академик вычислял вероятность того, что пара наугад взятых слов рифмуется, предлагал количественные оценки сложности рифм, определял затраты энтропии на строку "Евгения Онегина".

"Стих только тогда убедителен, когда проверен математической (или музыкальной, что то же) формулой. Проверять буду не я", - писала Марина Цветаева.

Элементы неожиданности

Каждое из крупных направлений математической науки имеет свой математический аппарат. Когда понятия, идеи и методы, возникшие внутри одного направления, удается применить для развития другого, наука существенно продвигается. До XVII века алгебра и геометрия существовали более-менее независимо. Идеи Декарта и Ферма, считавших, что вместо линий и поверхностей можно исследовать их уравнения, привели к появлению аналитической геометрии. В наши дни алгебраическая геометрия - бурно развивающаяся область математики, получившая, к тому же, важные применения в теоретической физике (теория струн в физике элементарных частиц). Отметим также новый взгляд на теорию дифференциальных уравнений, появившийся после того, как Пуанкаре использовал для ее развития методы геометрии и топологии.

Высказывание А. Н. Колмогорова о том, что во всяком крупном открытии имеются элементы неожиданности, и этим крупное открытие отличается от постепенно накапливаемых результатов текущей научной работы, неоднократно подтверждалось его собственным опытом. В 50-х годах он обнаружил неожиданные связи теории информации с казалось бы далекими от нее областями математики - теорией приближений и теорией динамических систем.

В работах А. Н. Колмогорова по теории приближений были использованы идеи комбинаторного направления теории информации. "Вообще мне представляется важной задача освобождения всюду, где это возможно, от излишних вероятностных допущений", - писал он в комментарии к сборнику своих трудов. Для множеств в метрических пространствах Андреем Николаевичем были введены понятия e-энтропии и e-емкости. Для класса функций K его e-энтропия H_k(K) есть количество информации, необходимое для выделения из K с точностью e какой-нибудь индивидуальной функции, а e-емкость C_k(K) есть количество информации, которое может быть закодировано элементами из K при условии, что надежно различимы элементы K, расположенные друг от друга на расстоянии, не меньшем e.

Подход, основанный на этих понятиях, позволил выработать общий взгляд на важную в теории численных методов проблему составления таблиц значений функций. Именно эти исследования побудили А. Н. Колмогорова заняться проблемой, имеющей несчастливый порядковый номер 13 в знаменитом списке проблем Гильберта. Суть проблемы состояла в том, что для некоторой непрерывной функции трех переменных надо было доказать невозможность ее представления в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных. Полученное А. Н. Колмогоровым и сформулированное в начале главы утверждение (его высшее "спортивное" достижение) опровергло гипотезу Гильберта.

Первоначально под динамической системой понималась любая механическая система с конечным числом степеней свободы. Позже этот термин стали трактовать шире - любая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Одной из самых знаменитых в теории динамических систем является задача об эволюции орбит трех небесных тел, сформулированная еще Ньютоном, но в общем виде не решенная до сих пор. Близкими задачами Андрей Николаевич занимался в 1953-54 годах. Ему удалось решить задачу, которую Пуанкаре назвал "основной проблемой динамики". Работы А. Н. Колмогорова и его ученика В. И. Арнольда по этим вопросам были отмечены Ленинской премией.

Комментируя свою статью "Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега" (для неспециалистов название выглядит прямо-таки устрашающе — понятно только первое слово), Андрей Николаевич отмечает, что эта работа "содержит некоторые применения математического аппарата теории информации к теории динамических систем. Введенное в этой работе понятие "количество информации" не получает какого-либо реального истолкования".

"Современное понимание связи между неустойчивостью и статистикой возникло после привлечения идей и методов из теории информации. Принципиально важную роль здесь сыграла работа А. Н. Колмогорова 1958 г., где такая связь с теорией информации была обнаружена впервые", - пишет об упомянутой выше статье Я. Г. Синай - один из многочисленных учеников А. Н. Колмогорова. На связи между неустойчивостью и статистикой остановимся несколько подробнее.

В теории вероятностей каждому случайному событию приписывается определенная вероятность. Трудно представить себе, что где-то имеется некий "случайный механизм" типа рулетки, который и определяет значения вероятностей. Последние обычно считаются следствием анализа статистических данных. Против применения вероятностных законов в квантовой механике резко восстали многие физики, считавшие, что статистический характер законов - следствие неполноты знаний и, в конце концов, им на смену придут законы детерминированные. "Я могу еще, если на то пошло, понять, что Господь Бог мог сотворить мир, в котором нет законов природы. Короче говоря, хаос, - писал А. Эйнштейн. - Но то, что должны быть статистические законы с вполне определенными решениями, например законы, вынуждающие Господа Бога бросать кости в каждом отдельном случае, я считаю в высшей степени неудовлетворительным". Великий физик не мог смириться с тем, что вероятностные законы достаточно точно определяют ход таких процессов или явлений, для которых нет видимого "случайного механизма". Помимо квантовой теории, подобные законы используются, например, для описания турбулентности, хотя движение жидкости или газа описывается детерминированной системой дифференциальных уравнений в частных производных.

Неустойчивые динамические системы характеризуются тем, что малое изменение начальных данных приводит к нарастающим со временем различиям траекторий движения. Разнообразие различных типов траекторий за время [0, T] с ростом T растет экспоненциально. Показатель экспоненты есть характеристика динамической системы, родственная энтропии в теории информации. Современные исследования показывают, что чем неустойчивее движение, тем сильнее проявляются в нем статистические закономерности.

Как это понять? В свое время П. С. Лаплас утверждал, что по заданным начальным данным можно абсолютно точно рассчитать состояние динамической системы в любой момент времени. Но выясняется, что практически это не всегда возможно. Если система неустойчива, а начальные данные заданы с некоторой погрешностью, пусть даже очень малой, то о состоянии системы через достаточно большое время нельзя сказать абсолютно ничего достоверного. Это состояние можно оценивать только вероятностными методами. Границы царств порядка и хаоса, прежде казавшиеся незыблемыми, стали расплываться.

Математика и поэзия

В 1983 году, в связи с приближающимся 80-летием Андрея Николаевича, сотрудник журнала "Квант" взял у него интервью. Он задал, в частности, такой вопрос: "Лингвисты и литературоведы обратили внимание на Ваши публикации по стиховедению. Что Вы можете сказать об этом - менее обычном - сочетании: математика и поэзия? " Ответ выглядел так:

"Мне хотелось бы разделить этот вопрос на два, так как мое увлечение поэзией имеет такой же непроизвольный, стихийный характер, как и у людей, не занимающихся теоретическим исследованием стиха. Любимые мои поэты - это Тютчев, Пушкин, Блок. Что касается моих научных работ по метрике и ритмике русского стиха, то они действительно обратили на себя внимание специалистов - литературоведов, но все-таки это довольно специальная область исследования, интересоваться которой совершенно не обязательно всякому".

Всякому не обязательно, а нам интересно. Интересно, что может сделать математик в стиховедении, которое в нашем дилетантском представлении ассоциируется, с одной стороны, с проходимыми в школе ямбами и хореями, а с другой - с туманными понятиями типа "поэтический образ" или "лирический герой".

При статистической лаборатории А.Н. Колмогоров организовал семинар. Его участниками стали математики, филологи, литературоведы. Семинар занялся изучением русской поэзии. "Стиховедение вместе со всеми филологическими дисциплинами переживает сейчас закономерный этап устремления к более точным и объективным методам исследований, опирающимся лишь на факты, непосредственно данные в изучаемом материале", - писал Андрей Николаевич. Не эмоции, а факты, не субъективная оценка, а объективный, насколько это возможно, анализ поэтических произведений - такую задачу ставила перед собой группа А. Н. Колмогорова. Исходная позиция состояла в том, что в произведениях поэзии имеются количественные закономерности, которые могут быть восприняты и в отрыве от содержания. Математический аппарат для изучения этих закономерностей включал в себя теорию вероятностей, математическую статистику, теорию информации.

В журналах "Вопросы языкознания", "Вопросы литературы", книгах, посвященных теории стиха, Андрей Николаевич опубликовал около десятка работ. Типичные названия: "К основам русской классической метрики", "Ритмика поэм Маяковского", "О дольнике русской поэзии: Статистическая характеристика дольника Маяковского, Багрицкого, Ахматовой". Чтобы понять хотя бы суть этих работ, необходим небольшой экскурс в теорию стиха.

В чем отличие поэзии от прозы? Специалисты считают, что принципиальных отличий два. Во-первых, проза есть сплошная речь, а поэзия делится на сопоставимые между собой единицы - стихи (так называется и каждая строчка стихотворения). По мнению А. Н. Колмогорова, более важно второе отличие: стих обладает внутренней мерой (метром), а проза ею не обладает. Второй признак Андрей Николаевич определяет так: "Под метром я понимаю закономерность ритма, обладающую достаточной определенностью, чтобы вызывать: а) ожидание ее подтверждения в следующих стихах, б) специфическое переживание "перебоя" при ее нарушениях".

В основе ритмичности русской классической поэзии лежит чередование единообразных стоп - сочетаний из сильных и слабых слогов (мест). Сильные слоги, как правило, ударны, слабые - безударны. Вспомним начало "Евгения Онегина": "Мой дядя самых честных правил..." Формально первый слог - ударный, по существу - слабый, читая стих, мы его никак не выделяем. "Евгений Онегин" написан ямбом - метром, в котором сильные места приходятся на четные слоги. Число стоп в строке - четыре. В другой четырехстопной строке А. С. Пушкина "Буря мглою небо кроет..." сильные места приходятся на нечетные слоги, такой метр называется хореем. Ямб и хорей - двудольные метры, стопа состоит из одного сильного и одного слабого слогов. В классической русской поэзии использовались также трехдольные метры, в которых ритм задает стопа из одного сильного и двух слабых слогов. В зависимости от того, какое место в сочетании занимает сильный слог, они подразделяются на дактиль, амфибрахий и анапест. Пример - снова из А. С. Пушкина: "Подымем стаканы, содвинем их разом ..." (четырехстопный амфибрахий).

Идеальное соблюдение метра в достаточно большом произведении встречается редко. Сильный слог то пропускается и заменяется двумя слабыми (вторая строка из "Евгения Онегина": "Когда не в шутку занемог..."), то возникает не там, где ему положено ("Швед, русский, колет, рубит, режет..." - снова А. С. Пушкин, но на сей раз "Полтава").

"Вольности" в классической метрике допускались все чаще, поэты ХХ века отходили от ритмических схем своих предшественников. А. Н. Колмогоров пишет об этом так: "Поиски новых ритмов не помешали культивированию классической метрики со всеми тонкостями и даже расширению ее возможностей, но не путем отказа от строгого счета слогов и точного подчинения расположения ударений требованиям метра, а путем обращения к таким ритмическим вариантам, которые требуют для своего восприятия в качестве подчиненных метру более изощренного внимания".

Сравним два отрывка, в которых языком поэзии говорится о море. Первый взят из стихотворения, написанного в 1865 году Ф. Н. Тютчевым (любимым поэтом Андрея Николаевича):

На бесконечном, на вольном просторе Блеск и движение, грохот и гром... Тусклым сияньем облитое море, Как хорошо ты в безлюдье ночном!

Число слогов в строках - 10-11, всюду сильными являются 1, 4, 7 и 10-е места, мы без труда узнаем традиционный дактиль.

Второй отрывок представляет собой начало главы "Морской мятеж" из поэмы Б. Пастернака "Девятьсот пятый год", написанной в 1925-26 годах:

Приедается все, Лишь тебе не дано примелькаться. Дни проходят, И годы проходят, И тысячи, тысячи лет. В белой рьяности волн, Прячась В белую пряность акаций, Может, ты-то их, Море, И сводишь, и сводишь на нет.

На первый взгляд, никакой системы ни в числе слогов, ни в расположении сильных мест нет. Как считает Андрей Николаевич, изучавший ритмику этой поэмы в одной из работ, поэма "выделяется обилием безударных сильных слогов и дополнительных ударений на слабых слогах, что придает ее ритму характер, очень далекий от обычных представлений о плавности трехсложных размеров". Академику потребовалось, выражаясь его собственным языком, "изощренное внимание", чтобы, проанализировав все 336 стихов поэмы, сделать вывод, что "законы классической метрики в поэме соблюдены безукоризненно", метр поэмы - пятистопный анапест.

Первая попытка объяснить особенности русских классических метров на основании исследования статистических закономерностей была предпринята Н. Г. Чернышевским. Взяв небольшой отрывок из прозы А. С. Пушкина, он определил, что одно ударение приходится в среднем на 3 слога (современные данные - на 2,68). Этим Н. Г. Чернышевский объяснял распространенность двудольных и трехдольных метров.

Статистические закономерности в произведениях поэзии изучал видный представитель символизма в поэзии начала ХХ века Андрей Белый. К этому же направлению принадлежали А.А. Блок, К.Д. Бальмонт, В. Я. Брюсов. Последний писал: "Математику как олицетворение рассудочности обычно противопоставляют поэзии, постигающей мир иными, не рассудочными средствами". Андрей Белый математику и поэзию не противопоставлял. Возможно, сказывалась наследственность - его отец был профессором математики Московского университета. В своих стиховедческих работах, посвященных несовпадениям метра и ритма, А. Белый использовал огромный статистический материал. Он формулировал правила и пытался следовать им в своих поэтических опытах. Математические ошибки А. Белого исправил профессиональный математик Б. В. Томашевский, ставший впоследствии одним из крупнейших русских филологов ХХ века. В работе Б. В. Томашевского о пушкинских ямбах, изданной в 20-е годы, впервые в стиховедении был использован аппарат теории вероятностей.

К началу 60-х годов теория стиха сильно отстала от обновления поэзии. Профессор М. Л. Гаспаров, один из участников семинара А. Н. Колмогорова, характеризует это отставание так: "О метрике и ритмике Пушкина спорили с точными цифрами в руках. О метрике и ритмике Блока и Маяковского - с помощью словесных и подчас расплывчатых суждений". Андрею Николаевичу удалось построить убедительные модели наиболее сложных ритмических структур русской поэзии ХХ века.

В результате кропотливого анализа А. Н. Колмогоров установил, что большинство произведений В. В. Маяковского написано метром, в котором количество сильных мест в строке фиксировано (обычно 3-4), а количество слабых мест между ними и до первого сильного колеблется в пределах 1-2 слогов. Академику не требовалось придумывать новое название. Еще В. Я. Брюсов ввел термин "дольник" для обозначения этого метра, возникшего в переводах из германской поэзии. Но конкретным содержанием термин наполнился именно в работах Андрея Николаевича.

"Дольником в широком смысле можно назвать любой стих, который воспринимается в соотнесении со схемой, предусматривающей в каждом стихе определенное число долей, т. е. групп слогов, объединенных одним ударением", - таково определение дольника по А. Н. Колмогорову. Приведем и авторский комментарий к этому определению. Он интересен потому, что показывает, как академик понимал связь между теорией и практикой стихосложения: "Это общее определение сделано несколько расплывчатым, так как оно должно охватить различные направления развития дольника как живого явления поэтической практики, которое исходит не из заданных извне законов, а приходит к разграничению законных и незаконных вариантов ритма путем проб и вслушивания в звучание стиха".

Дольником написаны, например, хрестоматийные "Стихи о советском паспорте" В. В. Маяковского:

По длинному фронту _______________купе __________________и кают чиновник ______учтивый ___________движется. Сдают паспорта, _______________и я ________________сдаю мою пурпурную книжицу.

В работе, посвященной ритмическому анализу "Стихов", А. Н. Колмогоров объясняет и расположение строчек "лесенкой". Дело в том, что поэт выделяет в отдельную "ступеньку", в частности, те обычные безударные слова (местоимения, предлоги, вспомогательные глаголы), которые в данном случае должны произноситься с самостоятельным ударением. В первой строке "Стихов":

Я волком бы _________выгрыз _____________бюрократизм...

"я" - безударное, в приведенном выше отрывке - ударное.

Анализируя стихотворения и поэмы В.В. Маяковского, А. Н. Колмогоров приходит к выводу: "Системы ритмической организации стиха у Маяковского имеют устойчивые характеристики, не меняющиеся заметно при переходе от произведения к произведению и лишь медленно эволюционирующие со временем". Для доказательства этого утверждения он использовал богатый арсенал методов математической статистики и теории информации.

Работы А. Н. Колмогорова, посвященные исследованию ритмики и метрики произведений В. А. Жуковского, А. С. Пушкина, А. А. Блока, А. А. Ахматовой, В. В. Маяковского, М. И. Цветаевой, Б. Л. Пастернака, Э. Г. Багрицкого, современной теорией стиха признаются классическими. И все-таки остается неясным, почему удостоенный всех почестей и наград академик занялся таким необычным, новым для себя делом. Сам Андрей Николаевич писал, что вовсе не ставил цели помогать поэтам писать стихи. По-видимому, ему было просто интересно погрузиться в сферу, традиционно недоступную точным наукам. Интересно еще и потому, что он всегда любил и поэзию, и трудные задачи.

Университет в Комаровке

Словарь русского языка определяет дружбу как близкие отношения, основанные на взаимном доверии, привязанности, общности интересов. "Избери себе друга, ты не можешь быть счастлив один: счастье есть дело двоих", - советовал Пифагор. Многолетняя дружба двух выдающихся математиков - Павла Сергеевича Александрова и Андрея Николаевича Колмогорова - дала счастье каждому из них и обогатила математику в целом.

В 1981 году П. С. Александров писал: "Моя дружба с А. Н. Колмогоровым занимает в моей жизни совершенно исключительное, неповторимое место; эта дружба перешагнула в 1979 году через свое пятидесятилетие, и за весь полувековой период не только не дала никакой трещины, но не сопровождалась даже никакой ссорой, не было у нас за все это время и какого бы то ни было взаимного непонимания по вопросам, сколько-нибудь важным для нашей жизни и миросозерцания; даже тогда, когда наши взгляды на какой-нибудь из этих вопросов были различны, мы относились к этим взглядам друг друга с полным пониманием и сочувствием".

Павел Сергеевич умер в 1983 году. В статье, посвященной воспоминаниям о нем, Андрей Николаевич счел необходимым сделать ответное признание: "Для меня эти пятьдесят три года нашей тесной и неразрывной дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны Павла Сергеевича".

Будущие патриархи математики познакомились в 1920 году. Спустя два года, студент Колмогоров по совету П. С. Урысона отправился к П. С. Александрову, чтобы проконсультироваться по вопросам дескриптивной теории множеств. Консультант был на 7 лет старше студента и уже занимал достаточно высокое положение в иерархии Лузитании. Разница в возрасте и положении еще сказывалась, и часто, встречаясь на концертах в консерватории, они лишь здоровались, но в беседу не вступали. Тем не менее именно Павел Сергеевич настоял на том, чтобы выпускник аспирантуры А. Н. Колмогоров был оставлен для работы в МГУ.

Дружба началась летом 1929 года, когда Андрей Николаевич, имевший к тому времени опыт лодочных походов, стал организатором путешествия по Волге от Ярославля до Самары. Вторым участником похода длиной 1300 км стал один из школьных друзей А. Н. Колмогорова. "Мне до сих пор не совсем ясно, как я решился предложить быть третьим компаньоном Павлу Сергеевичу. Однако он согласился сразу", - пишет Андрей Николаевич.

Из похода они вернулись с готовым решением поселиться вместе. Сначала снимали комнаты и мансарды в Подмосковье, затем жили на даче в Клязьме у брата П. С. Александрова и, наконец, в 1935 году приобрели у наследников великого реформатора сцены К. С. Станиславского старинный помещичий дом в деревне Комаровке близ Болшева.

С тех пор маленькая Комаровка стала столь же значительным математическим центром страны, как и крупнейшие университетские города. Значительность проявлялась не только в том, что отныне именно в Комаровке П. С. Александров и А. Н. Колмогоров вели свои научные поиски, получали результаты, писали статьи и книги. Важно и то, что Комаровка стала как бы филиалом механико-математического факультета. От старинного здания МГУ на Манежной площади (позднее - от высотного здания на Ленинских горах) сюда пролегла незримая тропа. По ней в обе стороны двигались ученики. Туда - волнуясь в ожидании встречи с требовательными руководителями. Обратно - вооруженные оттисками статей, бумажками с пометками академиков, которые потом приходилось разгадывать, как ребусы. И, что самое главное, вооруженные идеями. Идеи в Комаровке раздавались с необыкновенной щедростью.

Ученик А. Н. Колмогорова профессор В. А. Успенский вспоминает: "Когда А. Н. индуцировал у своего ученика некоторый результат, который на самом деле был им почти подсказан, он создавал такую обстановку, будто бы ученик додумался до этого сам, и предлагал писать статью в журнал о результате. Вот такая психологическая поддержка своего младшего партнера - очень существенный момент его деятельности. Происходило ли это инстинктивно или он это обдумывал, я не знаю".

Если сравнивать дом академиков в Комаровке с университетом, то надо сказать, что вторым по важности из "проходимых" там предметов была физкультура. Мы не можем отказать себе в удовольствии привести большую цитату из воспоминаний Андрея Николаевича:

"Как правило, из семи дней недели мы проводили 4 дня в Комаровке, один из которых полностью посвящался физкультурному отдыху - лыжам, гребле, большим пешеходным экскурсиям (протяженность длительных лыжных походов была в среднем около тридцати и доходила до 50 километров; в солнечные мартовские дни мы проводили на лыжах в одних трусах до 4 часов подряд). В остальные дни обязательной была утренняя зарядка, дополнявшаяся зимой еще бегом на лыжах до 10 км. Мы никогда не были моржами, купающимися круглый год ежедневно: мы купались по произволу, когда захочется. Особенно мы любили плавать в только что вскрывшихся реках, еще посреди сугробов по берегам. Утренняя пробежка на расстояние около километра при не слишком больших морозах делалась в одних трусах и босиком. Заплывы в ледяной воде я делал только очень маленькие, а Павел Сергеевич - значительно более длинные. Но зато бегал на лыжах в раздетом виде на значительно большие расстояния - я.

Одним из любимых способов организации лыжных пробегов был такой. Мы приглашали математическую молодежь, скажем, в Калистово, и оттуда начинали двигаться в направлении Комаровки. Некоторые, не добравшись до Комаровки, садились в автобус и уезжали домой. Добравшимся предлагался душ, по желанию - валяние в снегу и затем - обед. В период расцвета комаровского дома число гостей за обеденным столом после лыжного бега достигало 15 человек.

Примерный распорядок дня в Комаровке был такой. Завтрак в 8-9 часов. Умственная работа - с 9 до 2. Второй завтрак - около 2. Лыжный пробег или пешеходная прогулка - с 3 до 5. В период наиболее строгой организованности - предобеденный сон в течение 40 минут. Обед - в 5-6 часов. Потом - чтение, музыка, беседы на научные и общие темы. В самом конце - короткая вечерняя прогулка, особенно - в лунные зимние ночи. Сон в 10-11 часов.

Весь этот распорядок нарушался в двух случаях: а) когда научные поиски становились азартными и требовали неограниченного времени и б) в солнечные мартовские дни, когда лыжные прогулки делались единственным занятием".

Летние отпуска обычно посвящались путешествиям на байдарках или лодках, походам в горы. "Во всех этих занятиях я ценю не только их пользу для здоровья, но и ту радость общения с природой, которую они приносят", - рассказывал Андрей Николаевич журналисту. В возрасте свыше 75 лет он жаловался, что уже не может позволить себе купаться в зимней речке и вынужден ограничиваться купанием в снегу, а знающий человек хорошо понимает разницу между этими процедурами. Прогрессирующая глаукома к тому времени почти лишила его зрения, но он все равно ходил на лыжах, одеть их и застегнуть крепления ему помогали ученики.

Многочисленные ученики Павла Сергеевича и Андрея Николаевича продолжают физкультурные традиции Комаровки. Участники семинара В. И. Арнольда по-прежнему удивляют жителей Подмосковья лыжными походами в плавках и купанием в прорубях.

Мы заканчиваем беседу об А. Н. Колмогорове и очень надеемся, что читатель разделит наше восхищение и удивление перед одной из крупнейших фигур математики ХХ века, перед человеком и цельным, и необычайно разносторонним.

Есть много больших математиков, добившихся замечательных результатов в тех областях науки, которыми они занимались. Но есть немногие из них, кто в математике умеет все, кто видит всю математику целиком, со всеми ее связями с другими видами человеческой деятельности. К числу немногих принадлежит Андрей Николаевич Колмогоров. Наверное, потому его имя стоит в списке, с которого начиналась наша беседа.

Б. М. Писаревский, В. Т. Харин

---

Беседа вторая из книги
"Беседы о математике и математиках",
Изд. "Нефть и газ", М., 1998 г., 185 стр.
Оглавление книги на VIVOS VOCO!

Источник: VIVOS VOCO!

Зеркала:
vivovoco.nns.ru
www.ibmh.msk.su/vivovoco
vivovoco.rsl.ru
vivovoco.usu.ru